REMEDIAL MATEMATIKA BAB 1 DAN BAB 4
Bilangan Berpangkat,Bentuk Akar,dan Logaritma
BAB 1
Pangkat normal adalah pangkat dengan bilangan bulat positif, yaitu perkalian berulang sebanyak dengan pangkat tersebut.
Contoh:
42 = 4.4 = 16
43 = 4.4.4 = 64
44 = 4.4.4.4 = 256
Pangkat tipe kedua adalah bilangan bulat kurang dari sama dengan nol.
Sifat-sifat:
- a0 = 1
.gif)
NB: maaf, kesalahan menulis, seharusnya a-n bukan an.
- Pangkat dalam bentuk akar
Pangkat juga bisa diubah kedalam bentuk akar seperti berikut:
.gif)
- Sifat-sifat bilangan berpangkat
AKAR
- Hubungan akar dengan pangkat
Akar sebenarnya adalah bentuk lain dari pangkat pecahan, lihat persamaan berikut.
- Aljabar dalam bentuk akar
Berikut ini adalah sifat sifat akar dalam operasi aljabar.
Penyebut Irasional
Maksudnya
adalah penyebut yang berbentuk akar, bilangan tersebet disebut juga
dengan bilangan yang tidak rasional, karena sulit untuk di pecahkan.
Oleh karena itu penyebut harus diubah menjadi bilangan bulat atau
bilangan yang rasional, dengan cara-cara berikut:
LOGARITMA
Hubungan akar, pangkat dan logaritma
Jika
akar adalah bentuk lain dari pangkat, maka logaritma adalah lawan dari
pangkat. Jika dalam pangkat yang kita cari adalah hasil dari perkalian
berulang tersebut maka logaritma adalah mencari berapa banyak perkalian
yang terjadi alias mencari pangkat itu sendiri, perhatikan contoh
berikut.
Sifat-sifat logaritma
BAB 4
Program Linear
Program linear adalah
suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai
optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu
himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear
terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif.
Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan
sistem pertidaksamaan linear.
Model Matematika Program Linear
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam
kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model
matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan
peubah dan notasi matematika.
Sebagai ilustrasi,
produsen
sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda.
Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr
bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan
pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg
dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan
model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk
tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah
y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y.
Dengan syarat:
- Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
- Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
- Masing-masing model harus terbuat.
Model matematika untuk mendapat jumlah pen jualan yang maksimum adalah:
Nilai Optimum Fungsi Objektif
Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan
pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan
penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang
jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi
persyaratan yang ditentukan.
Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat
ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi
objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang
menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
- Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
- Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis
batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut
merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memeliki
kemungkinaan besar membuat fungsi menjadi optimum.
- Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
- Menggunakan garis selidik
- Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
Menggunakan Garis Selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah
ax + by = Z
Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik
himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat
di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang
sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah
penyelidikian nilai fungsi optimum:
Cara 1 (syarat a > 0)
- Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal
sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut.
Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal
sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.
Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)
- Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal
sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut.
Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
- Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal
sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut.
Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.
Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim
Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan
dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis
batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang
berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing
fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai
maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.
Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.
Pembahasan 1:
- Langkah 1 menggambar grafiknya
- Langkah 2 menentukan titik ekstrim
Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.
- Lankah 3 menyelidiki nilai optimum
Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga
kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam
f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18
Contoh Soal 2
Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:
Titik ekstrim pada gambar adalah:
- A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
- B(3, 6)
- C(8, 2)
- D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim adalah:
Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.
Contoh Soal 3
Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan
pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan
pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan
jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.
Pembahasan 3:
Diketahui:

Dengan syarat:
- Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
- Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000

- x ≥ 0
- y ≥ 0
Diagramnya:

Titik ekstrim:
- A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
- C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:
- Apel: 150 kg
- Pisang: 250 kg