REMEDIAL MATEMATIKA BAB 1 DAN BAB 4  

Bilangan Berpangkat,Bentuk Akar,dan Logaritma 

BAB 1

•  
• Bilangan bulat positif

Pangkat normal adalah pangkat dengan bilangan bulat positif, yaitu perkalian berulang sebanyak dengan pangkat tersebut.
Contoh:
4² = 4.4 = 16
4³ = 4.4.4 = 64
4⁴ = 4.4.4.4 = 256

• Pangkat nol dan negatif

Pangkat tipe kedua adalah bilangan bulat kurang dari sama dengan nol.
Sifat-sifat:

• a⁰ = 1
• 

NB: maaf, kesalahan menulis, seharusnya a^-n bukan aⁿ.

• Pangkat dalam bentuk akar

Pangkat juga bisa diubah kedalam bentuk akar seperti berikut:

• Sifat-sifat bilangan berpangkat

AKAR

• Hubungan akar dengan pangkat

Akar sebenarnya adalah bentuk lain dari pangkat pecahan, lihat persamaan berikut.

• Aljabar dalam bentuk akar

Berikut ini adalah sifat sifat akar dalam operasi aljabar.

• 
• 
• 

Penyebut Irasional

Maksudnya adalah penyebut yang berbentuk akar, bilangan tersebet disebut juga dengan bilangan yang tidak rasional, karena sulit untuk di pecahkan. Oleh karena itu penyebut harus diubah menjadi bilangan bulat atau bilangan yang rasional, dengan cara-cara berikut:

• 
• 
• 

LOGARITMA

Hubungan akar, pangkat dan logaritma

Jika akar adalah bentuk lain dari pangkat, maka logaritma adalah lawan dari pangkat. Jika dalam pangkat yang kita cari adalah hasil dari perkalian berulang tersebut maka logaritma adalah mencari berapa banyak perkalian yang terjadi alias mencari pangkat itu sendiri, perhatikan contoh berikut.

• 

Sifat-sifat logaritma

BAB 4 

Program Linear

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

 

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah pen jualan yang maksimum adalah:

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.
Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memeliki kemungkinaan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
  • Menggunakan garis selidik
  • Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:
Cara 1 (syarat a > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.
Pembahasan 1:

• Langkah 1 menggambar grafiknya

• Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

• Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:
Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

• 
• 
• 

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.
Pembahasan 3:
Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg